广东省佛山市南海区石门中学(528248)黄伟亮
最近，笔者利用几何画板，以双曲线为研究对象，探究了双曲线焦点三角形“五心”的轨迹，得到了以下几个有趣的轨迹方程。
焦点三角形的定义：双曲线上一点(顶点除外)与其两个焦点组成的三角形叫做焦点三角形。
图1
探究1：重心轨迹方程
结论1设点G为双曲线x2a2－y2b2=1(a>0,b>0)的焦点三角形ΔPF1F2的重心，则点G的轨迹方程为x2(a3)2－y2(b3)2=1(y≠0)。
证明：设点P坐标为P(x0,y0)，则有y0≠0(否则不能成为三角形)，双曲线左右焦点坐标为F1(－c,0)、F2(c,0)，ΔPF1F2重心坐标为G(x,y)。
由重心坐标公式，有x=x0+(－c)+c3=x03，y=y0+0+03=y03，即x0=3x，y0=3y。代入双曲线方程，可得(3x)2a2－(3y)2b2=1，化简可得x2(a3)2－y2(b3)2=1，又因为y0≠0，所以y≠0。于是其重心G的轨迹方程为x2(a3)2－y2(b3)2=1(y≠0)，即以原双曲线的实轴长的13为实轴，以原双曲线的虚轴长的13为虚轴的双曲线(顶点除外)。
图2探究2：外心的轨迹方程
结论2设点E为双曲线x2a2－y2b2=1(a>0,b>0)的焦点三角形ΔPF1F2的外心，则点E的轨迹方程为x=0。
证明：设点P坐标为P(x0,y0)，其中y0≠0，因为点E在F1F2的垂直平分线上，所以可设E(0,y1)。因为PF2的垂直平分线的方程为y－y02=－x0－cy0(x－x0+c2)，而点E在其上，因此y1=x20－c22y0+y02。因为点P在双曲线上，所以x20a2－y20b2=1，所以y1=c2y02b2－b22y0。由于y0∈(－∞,0)∪(0,+∞)，所以y1∈R。因此点E的轨迹方程为x=0。
图3探究3：内心的轨迹方程
结论3设点I为双曲线x2a2－y2b2=1(a>0,b>0)的焦点三角形ΔPF1F2的内心，则有：
(1)当P在双曲线右支时，点I的轨迹为x=a(|y|<b,y≠0)；
(2)当P在双曲线左支时，点I的轨迹为x=－a(|y|<b,y≠0)。
证明：(1)当P在双曲线右支时，如图3，设⊙I与PF1、PF2、F1F2分别相切于点A、B、C，则有|F1A|=|F1C|，|PA|=|PB|，|F2B|=|F2C|。因为P在双曲线右支，所以|PF1|－|PF2|=2a，即|F1A|－|F2B|=2a，即|F1C|－|F2C|=2a。设C(x′,0)，则有x′－(－c)－(c－x′)=2a，化简，有x′=a。从而知⊙I总与x轴相切于点C(a,0)，又因为IC⊥x轴，故点I的轨迹方程为x=a。设I的纵坐标为y，∠PF1F2=α，则有|y|c+a=tanα2<1－acbc=c－ab，所以|y|<b且y≠0。综上所述，点I的轨迹为x=a(|y|<b,y≠0)。
(2)仿照(1)的证明可证得：当P在双曲线左支时，⊙I总与x轴相切于点C(－a,0)，点I的轨迹为x=－a(|y|<b,y≠0)。
探究4：旁心的轨迹方程
结论4设N为双曲线x2a2－y2b2=1(a>0,b>0)的焦点三角形ΔPF1F2的旁心，则有：(1)若P在双曲线的右支，点N在∠PF1F2的平分线上，
图4延长PN交x轴于M，则有|PN|∶|NM|=1∶e，且点N的轨迹方程为x2c2－y2(eb1+e)2=1(y≠0,x>c)(其中e为双曲线的离心率)；
(2)若P在双曲线的左支，点N在∠PF2F1的平分线上，延长PN交x轴于M，则有|PN|∶|NM|=1∶e，且点N的轨迹方程为x2c2－y2(eb1+e)2=1(y≠0,x<－c)(其中e为双曲线的离心率)。
证明：(1)如图4，|PN||NM|=|PF2||F2M|=|PF1||F1M|，因为P在双曲线的右支，所以|PN||NM|=|PF1|－|PF2||F1M|－|F2M|=2a2c=1e。设P(xP,yP)、N(x,y)、M(xM,0)，由定比分点公式有PNNM=y－yP0－y=1e，所以yP=e+1ey。因为|PF2||F2M|=1e，所以|PF2|=xM－ce，由双曲线的焦半径公式，有|PF2|=－a+exP，所以xM=e2xP。又知PNNM=x－xPxM－x=1e，化简有xP=xe。代入x2Pa2－y2Pb2=1，整理得x2c2－y2(eb1+e)2=1，因为yP≠0(否则不能成为三角形)，所以y≠0，于是x2c2－y2(eb1+e)2=1(y≠0,x>c)为点N的轨迹方程。
(2)仿照(1)的证明可得，此处从略。