北京市第八十中学（100102） 孙世林
每个学期的学期末全国各地的中小学都进行了期末考试，纵观北京各区高三数学期末考试立体几何考题，学生的得分情况不理想，在解题中为避免难度较大的几何推理，同学们常建立空间坐标系利用坐标形式的向量解决问题，但试题中往往没有明确的垂直关系，建立坐标系要通过一定的转化、证明，难度较大，一味强调坐标法会造成得分的困难，出现这种现象一是空间想象能力、几何推理有待提高，再有就是对向量知识本质认识不够，恰当利用非坐标形式的向量解题，既可避开技巧要求过高、转化复杂的几何法，又可以很好的回避有时建系的困难，下面就从近期的高三期末立体几何考题谈起：
1 纵观空间位置关系问题．感悟用非坐标形式向量解题
向量具有“数”与“形”双重身份，兼具代数的严谨与几何的直观，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．解题时可以将有关线、面用向量表示出来，再利用共线向量定理、共面向量定理及向量垂直的条件得到证明，这样可以很好的避开学生感觉困难的几何关系的论证。
例l （2015年北京市海淀区高三期末考试题）
如图l所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1B1B
点评：本题不存在两两垂直的三条棱，若建立空间坐标系．需要找出一条和底面垂直的直线作为。轴，这样会使部分点的坐标不好确定：采取几何法，通过充分观察几何体的特征，可直观的猜测出直线EF与平面ABC平行，此处难度较大，需要学生有很好空间想象能力，接下来要在平面ABC内找一条线段与EF平行，再通过严格的几何推理与论证，也需要很好的思维能力：采取非坐标形式的向量，利用向
点评：本题很多学生误认为PA上平面ABCD，从而建立空间坐标系，利用向量的坐标形式进行垂直的证明，以至于不能得分，利用传统的几何法，难度在于点F是棱BC上动点，确定题目中的垂直关系有一定的难度，把相关线段AE、PF用具有垂直关系的向量4B, AP，BC来表示，再利用数量积的运算+便迎刃而解，这种办法突出向量的相互表示和运算，避免了繁琐的几何推理，收到了很好的效果。
2 纵观“立几”中的探究性问题．感悟如何选择向量的基底
非坐标形式的向量解决立体几何问题，关键是结合图形选择恰当的基底，构建基向量，利用向量加法、减法的几何意义，把有关向量表示出来，再把有关问题转化为向量之间的运算来解决
例3（2015年北京市东城区期末考试理科题）
点评：向量法是解决立体几何探究性问题明显优于传统的几何法，平时我们可以有意识的用非坐标形式的向量法解决探究问题的训练，这样可以很好的弥补坐标法的不足，完善数学思维，非坐标形式的向量解决立体几何问题，关键是选择合适的基底，构建基向量，利用向量加法、减法的几何意义，把有关向量表示出来，再把有关问题转化为向量之间的运算来解决。
3纵观“立几”的综合问题．感悟从向量结果向几何结论的回归
立体几何是中学数学重要的内容之一，也是高考必考的知识点，本部分知识要求学生要有很好空间想象能力、规范表达及严谨的几何推理能力，在平时的训练时适时的应用向量形式，特别是非向量形式的向量，再结合几何法解决问题，会开阔学生的思路，减少几何推理的思维量，降低难度，使问题解决避开难点，顺畅自然。
点评：本题的第三问是逆向思维的问题，利用平面PBC与平面PDC垂直反推棱PA的长，用坐标形式的向量求解．建立空间坐标系会误把PB．PD．PA所在直线为x，y，z轴造成错误，若坐标系建得正确，求相关点的坐标又容易求错，采取非坐标形式的向量求出其中一个平面的法向量，利用此法向量和另一个平面是共面向量求出棱PA的长．证明点共面问
点评：在建立空间坐标系困难较大的情况下，可选择一组基底，运用空间向量基本定理将有关线、面用空间向量表示，寻求非向量解法；空间向量基本定理告诉我们用空间任意三个不共面的向量（基底）可以线性表示空间中的任意一个向量（包括法向量），并且表示是唯一的，基底的选取是解题的前提和基础，一般选择边、角均为已知（或简单可求）的棱作为基底，如本题中选择( PA，PD，PD)或(AP，AB，AD)为基底，运用向量的有关知识表示相关的点、线、面，问题便迎刃而解。
向量作为一种数学工具，它既具有代数的运算又具有几何推理的功能，利用向量的几何意义和运算可以很方便的解决立体几何中很多问题，不可否定，用空间向量解决立体几何问题，我们首选的是向量的坐标形式，然而，适时的应用非坐标形式的向量，既可以避免繁琐的运算，减少推理论证的难度，降低运算量，又可降低对空间想象能力的要求，解题方法新颖，对提高学生的分析问题和解决问题的能力及增强创新意识具有重要意义。
[1]殷伟康．培育学生解题的六种意识突破向量问题的解题瓶颈[J]中学数学，2015，1．
[2]王焱坤．基底搭桥—不一样的解题精彩[J]十学数学教学参考，2011．
[3]孙世林．深入探究三视图 反思生成揭本质．高中数理化．2014.1